PDF-версии: 1.
i
Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1. Точки M и N являются серединами ребер A1B1 и BB1 соответственно, точка K — середина диагонали A1C грани AA1C1C (см. рис.). Выберите верные утверждения:
1) прямая NK лежит в плоскости AA1B1;
2) прямая MN пересекает прямую AB;
3) прямая MN пересекает прямую BC;
4) прямая MK пересекает прямую AB;
5) прямая MK пересекает плоскость ACC1;
6) прямая NK параллельна плоскости A1C1B1.
Ответ запишите цифрами (порядок записи цифр не имеет значения). Например: 123.
Найдите длину пространственной ломаной B1A1C1D (см. рис.).
где V — объем шара.
и длина стороны равна 8. Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом α, а высота пирамиды равна 18. Найдите значение выражения 
Имеем:
Тангенс угла α равен отношению высоты пирамиды к радиусу окружности, вписанной в ромб. Имеем:
с плоскостью основания (см. рис.) и отсекает часть NC1CA1D1D. Если объем призмы равен 48, то объем оставшейся части равен … .
следовательно, по теореме о трех перпендикулярах 
поэтому 
откуда 
Пусть 
откуда 
и углом BAD, равным 
Ребро SD перпендикулярно основанию, а ребро SB образует с основанием угол 
Найдите радиус R сферы, проходящей через точки A, B, C и середину ребра SB. В ответ запишите значение выражения R2.
К тому же 
Таким образом, 
следовательно, 
Следовательно,
вращается вокруг оси, содержащей его гипотенузу. Найдите значение выражения 
где V — объём фигуры вращения.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 
Высота, проведенная из прямого угла, является радиусом конусов и равна: 
Поэтому: 
где h — высота оставшейся жидкости.
откуда 
угол 30°. Основанием пирамиды является прямоугольник с углом 30° между диагоналями. Найдите объем пирамиды V, в ответ запишите значение выражения 
Площадь прямоугольника можно найти как полупроизведение диагоналей d на синус угла между ними 
Из прямоугольного треугольника SOA найдем половину диагонали основания: 
Тогда объём пирамиды равен: 
Поэтому 
проведем KP||OM, K
Таким образом, MNKPD — искомое сечение.
тогда 
тогда 
Аналогично находим отношение 
следовательно, это искомый объём. Тогда его объём равен 724.
(см. рис.). Сечением куба плоскостью, проходящей через точки M, N и K, является:
и B1S : SD = 3 : 1.
где основание — KNC1B1. Проведем высоту SE из точки S пирамиды SB1KNC1, как показано на втором рисунке.
поэтому 
для этого сделаем дополнительное построение, проведя прямую параллельную B1M до пересечения с продолжением стороны A1D1 (см. рис. 3). Получившийся треугольник D1NF подобен треугольнику A1B1M по двум углам. Поэтому:
и 
Соответственно, площадь треугольника A1NF равна 
и его объем равен 
Найдите высоту цилиндра.
К плоскости ABCD из точки O восстановлен перпендикуляр SO длиной 8. Найдите значение выражения 
где 
— линейный угол двугранного угла BSCD, если 
и известно, что площадь ABCD равна 45.
где a и b стороны параллелограмма, а 
— угол между ними, следует, что угол 
а параллелограмм ABCD является прямоугольником. По теореме Пифагора:
Таким образом, 
Площадь сферы: 
Точки P и K — середины ребер A1B1 и AA1 соответственно, 
Найдите длину отрезка, по которому плоскость, проходящая через M, P, K, пересекает грань BB1C1C.
Найдем сторону 
параллельна прямой а.
то высота цилиндра равна 
Найдем объем цилиндра:
где 
откуда 
Следовательно, 
следовательно, 
Поскольку 
получаем, что 
Тогда 
Составим и решим неравенство:
Выразим объем воды, налитой в бокал:
получаем, что 
Имеем:
и точки A, C, A1 лежат на одной прямой (см. рис. 2).
Из точки А проведем перпендикуляр AH к прямой CB и перпендикуляр AH1 к продолжению отрезка A1A Точка H делит сторону CB равностороннего треугольника ABC пополам, так как является высотой и медианой. Сторона треугольника ABC равна A1C1, треугольники ABC и A1B1C1 равны. Прямоугольные треугольники AA1H1 и ACH подобны по двум углам. Примем длину стороны треугольника ABC за x, x > 0, составим уравнение:
Примем за a сторону AA1 прямоугольника AA1C1C, a > 0. По теореме Пифагора в треугольнике AA1C:
где 
откуда 
Точка O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC, в нее проецируется высота SO. Пусть сторона основания пирамиды равна a, тогда высота 
Из свойства биссектрисы в треугольнике SLA: 
а радиус описанной около него окружности равен 
Найдите длину диагонали грани AA1C1C, если площадь этой грани равна 
СN : NS = 1 : 3 (см. рис.). Найдите длину отрезка, по которому плоскость, проходящая через точки M и N параллельно ребру SA, пересекает основание ABCD пирамиды.
Заметим, что CN — средняя линия треугольника MFP, следовательно, C — середина отрезка FP, тогда, поскольку FC = CP = 24, DP = 24 · 3 = 72.
пересекаются по прямой a и точка A принадлежит плоскости 
перпендикулярна плоскости 
Найдите объем V цилиндра, если известно, что радиус его основания больше высоты на 3,5. В ответ запишите значение выражения 
по условию 
а 
Тогда
от каждой из прямых AB, BC, СD и AD. Через середину высоты пирамиды SABCD параллельно ее основанию проведена секущая плоскость, которая делит пирамиду на две части. Найдите значение выражения 10 · V, где V — объем большей из частей.
где p — полупериметр. Находим:
и 
следовательно, 
и 
от объема исходной пирамиды. Таким образом, 
Прямая а пересекает плоскости α и β в точках А и В соответственно и образует с ними угол 30°. Найдите длину отрезка АВ.
Найдите значение выражения 
где β — угол между плоскостью параллелограмма и плоскостью α.
Пусть h — расстояние от прямой BC до плоскости α. Тогда 
Тогда 
Найдите объем пирамиды.
отсюда 
В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC, его внутренние углы равны 60°. Угол AMB — прямой, угол ABM равен 30°, следовательно, 
Пусть AM = a, тогда по теореме Пифагора в треугольнике ABM:
Найдем площадь треугольника ABC:
и AC = 4. Найдите значение выражения 
где φ — угол между прямыми AD1 и DC1.
Тогда по теореме косинусов для треугольника AB1D1 получаем 
и 
Через точки M, N, A1 проведена плоскость. Найдите расстояние d от точки С до этой плоскости. В ответ запишите значение выражения d2.
Заметим, что прямые MN, B1C и A1D параллельны, поэтому искомое расстояние равно расстоянию от любой точки прямой B1C до плоскости MNA1D. 
тогда 
Найдите длину проекции отрезка AB на плоскость α.
По теореме Пифагора:
где V — объем цилиндра, если расстояние от плоскости сечения до оси цилиндра равно 
что равно высоте h цилиндра. Найдем объем цилиндра:
равно 1280.
Треугольники KPC и LBP равны по стороне и двум углам, тогда 
Треугольники BQL и AMQ подобны по двум углам, тогда
По теореме Пифагора:
где φ — угол между прямыми A1K и B1D1.
Найдем координаты вектора 
и 
Найдите длину проекции отрезка AB на плоскость α.
что равно высоте h цилиндра. Найдем объем цилиндра:
Треугольники PC1K и LB1P равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, тогда 
Треугольники LQB1 и A1MQ подобны по двум углам, 
Пусть длина A1Q равна 2x, тогда длина QB1 равна 3x. Так как длина ребра A1B1 равна 6, получаем, что 
По теореме Пифагора в треугольнике A1MQ:
где φ — угол между прямыми D1K и A1C1.
Найдем координаты вектора 
(см. рис.). Выберите верные утверждения. В ответе укажите номера выбранных утверждений.
Длины сторон AB и BC основания ABCD равны 
и 
соответственно, косинус угла ABC равен 
На ребрах AA1 и A1B1 взяты точки M и N соответственно, такие, что AM : MA1 = 4 : 1, A1N : NB1 = 1 : 4. Найдите значение выражения 
где φ — угол между прямыми MN и BC1.
синус этого угла равен 
Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен
(см. рис.). Выберите верные утверждения. В ответе укажите номера выбранных утверждений.
Длины сторон AB и BC основания ABCD равны 
и 1 соответственно, косинус угла BCD равен 
На ребрах BB1 и B1C1 взяты точки M и N соответственно, такие, что BM : MB1 = 3 : 2, B1N : NC1 = 2 : 3. Найдите значение выражения 
где φ — угол между прямыми MN и CD1.
синус этого угла равен 
Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен
